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[Adele_N]

Lösung zum (Bild-)Rätsel mit Pferd, Hufeisen und Stiefel:

1. Die ersten Gleichung kann wohl jeder, ohne groß überlegen zu müssen, sofort lösen und die Zahl für eine Pferd sagen:

1 Pferd + 1 Pferd + 1 Pferd = 30 -> 3 Pferde = 30 -> 1 Pferd = 30 / 3 = 10
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2. Bei der zweiten Gleichung wird’s schon schwieriger, da diese nach Hufeisen umgestellt werden muss:

1 Pferd + 2 Paar Hufeisen = 18 -> 2 Paar Hufeisen = 18 – 1 Pferd -> 1 Paar Hufeisen = (18 – 1 Pferd) / 2 = (18 – 10) / 2 = 4

--- gebraucht wird später der Wert für 1 Hufeisen: 1 Hufeisen = 1 Paar Hufeisen / 2 = 4 / 2 = 2
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3. Die dritten Gleichung muss ebenfalls umgestellt werden – diesmal nach Stiefel:

1 Paar Hufeisen – 1 Paar Stiefel = 2 -> 1 Paar Stiefel = 1 Paar Hufeisen – 2 = 4 – 2 = 2

--- gebraucht wird später der Wert für einen Stiefel: 1 Stiefel = 1 Paar Stiefel / 2 = 2 / 2 = 1
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4. Die vierte Gleichung: 1 Stiefel + 1 Pferd * 1 Hufeisen = ??

ist nun durch Einsetzen der ermittelten Werte zu lösen:. Die Schwierigkeit liegt wohl darin, dass da, im Gegensatz zu den zwei Gleichungen darüber Hufeisen und Stiefel nicht als Paar auftreten, sondern jeweils nur ein Stiefel und ein Hufeisen abgebildet sind.

Dass Punktrechnung vor Strichrechnung geht, wissen wir dank Elingo bereits und ich spendiere ihm deshalb ein Fleißbienchen!!!

Die Werte eingesetzt ergibt die Lösung: 1 + 10 * 2 = 1 + 20 = 21

[Google]

[Zeitlos]

Danke, liebe Adele,
wenn Du noch weitere solche Gleichungen parat hast ... wir haben sie doch alle einmal gelernt!

Zeitlos

[Zeitlos]

Am Bodensee geisterte es …

6. Klasse Volksschule – Schulausflug! Weg vom Stillsitzen in der kleinen Schulbank!
Auf allgemeinen Wunsch eines einzelnen Schülers wurde schließlich doch der Ausflug zum Bodensee beschlossen:

Fahrt mit der Bahn bis Bregenz,
Wanderung auf den Pfänder (ca. 1000 m hoch der Hausberg von Bregenz), oben Picknick mit Most.
Nachmittags Weiterfahrt mit dem Raddampfer „Augsburg“ zur der Insel Mainau oder der Turbinenfabrik MTU, Friedrichshafen – mich interessierte schon, was eine Turbine ist z.B. in einem Staudamm.
Zur Annette von Droste-Hülshof in Meersburg „Gar schaurig ists, übers Moor zu gehen …“, wollte niemand. Zum „Reiter über den Bodensee“ in Überlingen auch nicht (dort sind heute die sehenswerten Pfahlbauten aus der Jungsteinzeit.)

Am Hafen von Bregenz angekommen, forderte uns der Pfadfinder-Leiter auf, mit unseren teilweise mitgebrachten Ferngläser (aus der Pfadfinder-Gruppe), das ca. 50 km entfernte Konstanz zu entdeckten – Karte und Kompaß hatte er schon bereit gelegt auf der Uferpromenade. Gleich hatten wir die Richtung ausgemacht, stellten unsere wenigen Jagd-Ferngläser 12 x 50 scharf …. und sahen nur „Wasser“ am tiefen Horizont! Keine Häuser – nichts!

„Wenn Ihr kommt, dann ist wohl Konstanz davon gelaufen ….“, weil ihr nicht einmal wißt, wo Konstanz liegt!
Ich will Euch mal vorführen, daß es Konstanz gibt:

Er nahm sein altertümlichliches amerikanisches Funkgerät vom Rücken, zog feierlich die beiden Antennen aus, stellte die Funkfrequenz genau ein und rief seinen Kaplan- und Seglerfreund Stefan im Konstanzer Hafen.

Prompte Antwort: „Ja, ich war noch vor kurzem im Konstanzer Hafen, bin jetzt schon weit über der Mitte des Bodensees und sehe auch ohne Fernglas Bregenz und den Pfänder. Konstanz ist nicht vor Euch davon gelaufen … und jetzt segle ich auf Euch weiter zu.
… und tatsächlich, sogar mit bloßem Auge konnte man sein kleines Segel erkennen und plötzlich sogar ein stehendes Männchen.

Unser Pfadfinder-Leiter erzählte, warum wir den Mann jetzt mit bloßen Auge erkennen können: es ist ein Erbe aus dem Großen Graben.

Erst bei weniger als 7 km Entfernung wird unser Auge so scharf, daß Homo erectus die heran nahenden Gnu- und Antillopen-Herden erkennen und die Jagdtakik entsprechend abstimmen konnte.

Alle unsere Sinne und unser Körperbau, die Füße und Hände, sind heute noch aufs Überleben im Großen Graben ausgerichtet – vielleicht brauchen wir sie eines Tages wieder …?
Außerdem geht bei mehr als 7 km für uns die Welt unter … wir sehen keine anderen bewegten Menschen mehr … das Auge wird unscharf und ….

Nun befahl unser Pfadfinder-Leiter seinem Seglerfreund: „Freund Stefan, verschwinde!“ Wie durch Zauberhand war er weg … einfach nicht mehr zu sehen!
Dann: „Freund Stefan, erscheine!“ … und er stand wieder da.
… und so gings ein paar Mal hin und her.
Wie war dies möglich?

Auch Konstanz war nicht davon gelaufen, sondern hinter der Erdkrümmung – einem Wasserhügel – verschwunden.
Unsere Formel für den Wasserhügel (auf kurze Entfernungen) war:

Aus der Kreisberechnung … den Sehnenabschnitt (in der 6. Klasse Volksschule) … konnten wir die Bogenhöhe berechnen.
Wir mußten uns das Zifferblatt einer Uhr vorstellen und zogen eine Linie zwischen 10.00 Uhr und 2.00 Uhr (das ist die Sehne … wie beim „Pfeil und Bogen“ … und soll die ca. 50 km Luftlinie zwischen Bregenz und Konstanz darstellen).
Ebenso konnten wir von beiden Punkten A und B in 10.00 und 2.00 Uhr einen Radius zum Mittelpunkt M sowie von 12.00 Uhr ebenfalls bis zum Mittelpunkt des Kreises mit dem Lineal ziehen.

A) Die Pythagoras-Freunde unter uns
konnten nun hilfsweise den Pythagoras ansetzen und den senkrechten Radius von 12.00 Uhr und dem Mittelpunkt M aufteilen in die Sehnenhöhe und den „Rest“.

Die Sehnenhöhe ist die Höhe des Wellenberges …
… wenn man einen Tunnel zwischen Bregenz und Konstanz tief unten im Bodensee graben könnte.
Rechenschieber-Genauigkeit genügte – denn es sollte nur die Größenordnung festgelegt werden und schließlich haben nur noch geschätzt.

B) Den Bogen zwischen 10.00 Uhr und 02.00 Uhr malten wir blau – wie das Wasser – an und er soll nun die 50 km Entfernung zwischen Bregenz und Konstanz darstellen.

Unsere Annäherungs-Formel für die Bogenhöhe (nur für kurze Entfernungen gültig, denn die „Gemeinheit" der Erdkrümmung liegt darin, daß die Erde immer „krummer“ wird bis hin zu Kugelform – also nicht linear (gleichmäßig) sondern eher logarithmisch sein soll):

Entfernung von Dir in Bregenz bis zur Wellenbergspitze: 25 km
(die Bogenlänge ist dann nach wie vor = 50 km)
geteilt durch ….. (2 * den Erdradius mit 6.371 km).

Weiß jemand, welche Idee dieser Formel zugrunde liegt,
denn es gibt auch noch die viel Vogel-wildere Formel:

Radius minus
½ mal Wurzel aus (4mal den Radius hoch 2 minus Sehne hoch 2).
= r – (½ * Wurzel aus (4r^2 – s^2))
Wer sich dies aufzeichnet, wird staunen.


Zum Vergleich:

a) auf 10 km Bogenlänge = 5 km Sichtweite bis zur Wellenbergspitze beträgt die Höhe ca. 2 m; es sehen sich also nur 2 Menschen, wenn sie beide aufrecht stehen auf den jeweils erhöhten Uferstraßen:

b) und auf 7 km Bogenlänge ….?

Fragen:
1) Wie hoch ist schätzungsweise der Wellenberg zwischen Bregenz und Konstanz?
2) Warum konnte der Seglerfreund so einfach verschwinden und ebenso rasch wieder erscheinen auf seinem kleinen Segelboot?

Viel Spaß!
Zeitlos

[Adele_N]

Hallo Zeitlos,
heimlich hatte ich gehofft, dass diesmal eine leichte Aufgabe kommt, aber nein – Du hast wieder ganz tief in die mathematische Trickkiste gegriffen
Interessant daran ist allerdings die Tatsache, dass sich die Krümmung der Wasseroberfläche wegen der Kugelform der Erde sogar an nicht all zu großen Binnengewässern nachweisen lässt. Und mal ehrlich, wer hat schon am Ufer des Bodensees stehend einen Gedanken daran verschwendet, wie weit der Blick tatsächlich reicht?

Dabei ist die Berechnung gar nicht so schwer, da die Sichtweite S und der Erdradius R die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks bilden und die Augenhöhe Ha über dem Wasserspiegel + Erdradius R die Hypotenuse.
Die genaue Herleitung spare ich mir – mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich folgende Formel:

[1] S = Wurzel (2*R*Ha + Ha^2) ; und da Ha^2 sehr viel kleiner als 2*R ist, lässt sich näherungsweise schreiben:

[2] S ≈ Wurzel (2*R) * Wurzel (Ha)

um praktisch rechnen zu können, wird die Wurzel (2*R) so berechnet, dass sich S in km ergibt, wenn Ha in Metern eingesetzt wird:

[3] S ≈ 3,57 * Wurzel (Ha)

Wer also 7 km weit sehen möchte (Frage b), muss seine Augen ≈ 3,84 m über dem Wasserspiegel haben.

Zur Frage 1): „Wie hoch ist schätzungsweise der Wellenberg zwischen Bregenz und Konstanz?“

Variante 1: Diese Berechnung über Kreis und Winkelfunktion, da die Herleitung etwas aufwendig ist, nur die Endformel:

[4] h = R * ( 1 – cos (b * 360 / 4 * pi * R)) mit b = Bogenlänge zwischen Bregenz und Konstanz = 50 km

[4a] h = 6.371 * (1 – cos ( 50 * 360 / 4 * pi * 6.371)) = 6.371 * (1 – cos (0,22483)) = 6.371 * 7,698*10-6 ≈ 49,0503 m

Variante 2: Die näherungsweise Berechnung mit Hilfe des Pythagoras. Näherungsweise deshalb, weil die Sehnenlänge s gleich der Bogenlänge b gesetzt wird:

[5] h ≈ R – Wurzel (R^2 – b^2 / 4) ≈ 49,051 m

Zur Frage 2): „Warum konnte der Seglerfreund so einfach verschwinden und ebenso rasch wieder erscheinen auf seinem kleinen Segelboot?“

Um diese Frage genauer beantworten zu können, müsste Eure (damalige) Augenhöhe über dem Wasserspiegel bekannt sein. Ich denke aber, der Segelfreund ist einfach hin und her geschippert.

[Zeitlos]

Schön, daß es Dich gibt, liebe Adele!
Wir Pfadfinder wären begeistert von Dir gewesen ... Dein Fleiß ist ja vorbildlich - und Deine Kenntnisse auch.
(Darf es das nächste Mal wieder ein Kaufmanns-Problem ein z.B. aus biblischen Zeiten?)

1)
Ja, auch wir haben natürlich den 50 m hohen Wellenberg errechnet (und auch entsprechend geschätzt, weil wir keine Häuser von Konstanz mehr wegen der Erdkrümmung gesehen haben).
Was haben wir gestaunt!

Eigentlich muß die Bogenlänge größer sein als die Sehnenlänge und dazu muß für den Pythagoras der Radius seitlich z.B. durch 2.00 Uhr außerhalb der Kreises verlängert werden bis zur Höhe des "Nordpols", also am oberen Scheitel des Kreises,
weil ja niemand durch den "Wasserberg" durchblicken kann.

Dies war die Lösung des Pfadfinder-Leiters.
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2)
Freund Stefan geisterte ...

Wenn er in einer Entfernung von 7 km (Bogenlänge) im Segelboot steht,
sieht man von ihm nur die obere Hälfte = ca. 1 m,
weil die Spitze des Wasserberges 3,5 km von ihm/uns entfernt ist
nach unserer Formel ergibt sich für ihn eine Höhe von:

Entfernung bis zur Mitte des Wasserberges = 3,5 km.
Diese 3,5 km ^2 = 12,25 qkm ... also ein Quadrat.
Um daraus ein Rechteck zu machen,
haben wir diese Fläche durch den Erd-Durchmesser von 12.642 km geteilt
und eine Seite des Rechteckes mit ca. 1 m erhalten = die Wellenhöhe.

D.h. Freund Stefan und wir 12jährigen mußten gleichzeitig unsere Augen mindestens 1 m über der Wasseroberfläche haben, wenn wir uns gegenseitig sehen wollten. Wir Schüler waren vielleicht 1 - 2 Köpfe größer als 1 m.


Der Freund Stefan brauchte sich nur im Segelboot hinzusetzen - und weg war er und später wieder Stehauf-Männchen spielen.
Wir merkten den "Schwindel" erst, als er so weit näher kam, daß wir das Verschwinden mit bloßem Auge sehen konnten.
Freund Stefan konnte auch einfach 2 oder 3 Treppen zu seiner Kajüte hinabsteigen ... und wieder empor springen.

Interessanterweise sah er uns immer noch als er sich hingesetzt hatte, weil wir höher standen ... lt. unseren Pfadfinder-Leiter.

Bei 10 km Bogenlänge (also 5 km bis zur Wellenberg-Spitze) müssen beide Freunde so hoch stehen, daß ihre Augen ca. 2 m von der Wasseroberfläche entfernt sind - also oben in der Luft, um über den Wellenberg drüber zu sehen (nach unserer Formel) ...

... also wird Freund Stefan wahrscheinlich zwischen 7 und 10 km entfernt gewesen sein und kam immer näher.

Die Formel kann ich leider nicht nachvollziehen - aber es scheint für kurze Entfernungen zu stimmen.

Ein verblüffender Trick!

Kreisberechnung und Pythagoras wurden mir der 6. - 8. Klasse Volksschule gelehrt. Vielleicht gabs dies auch nur in Bayern.

Weiß noch jemand die Grund-Idee des Pythagoras und deren Beweis?
(Die alten Griechen nahmen die Seiten (a + b) zum Quadrat,
eigentlich 2 gleich große Quadrate nebeneinander mit verschiedener Aufteilung,
zogen (2 ab) wieder ab, erhielten aanschließend das gewünschte (c^2),

und schrieben darunter:
" S I E H E "!

Steht in jedem Mathe-Lehrbuch ... wer will, kann nun rätseln, was die Griechen damit ausdrücken wollten ...

Viel Spaß
Zeitlos

[Adele_N]

Hallo Zeitlos,
bitte – bitte, keine Kaufmanns-Problem oder sonstiges aus biblischen Zeiten! Da gibt es zu große Differenzen in den Maßeinheiten.

Zu 1): Stimmt, durch Verlängern des Radius lässt sich das Gleichsetzen von Sehen- und Bogenlänge umgehen, führt im Ergebnis jedoch auf eine quadratische Gleichung, weshalb ich diese Formel nicht angegeben habe – reiche sie nunmehr nach.

Variante 3: Ausgangspunkt sind die Strecken S und der Radius R, die im rechten Winkel zueinander stehen und die Katheten bilden. Die Hypotenuse wird durch die Strecke (R + Ha) gebildet. Nach Pythagoras gilt also:

[6] R^2 + S^2 – (R + Ha)^2 = 0 und erhalten nach etwas Rechnerei und dem Lösungssatz für quadratische Gleichung eine einzige gültige Lösung:

[7] Ha = Wurzel (R^2 + S^2) – R ; (Achtung: - R steht außerhalb der Wurzel !)

Zu 2): Wie Eure Formel: Ha = S^2 / 2 * R zustande gekommen ist, konnte ich bis jetzt noch nicht nachvollziehen – vielleicht fällt mir irgend wann noch etwas dazu ein. Habe aber mal durchgerechnet und dabei festgestellt, dass der Fehler gegenüber Variante 3 bis S = 400 km unter +0,1% bleibt. Bei S = 1280 km beträgt der Fehler dann knapp +1%.

Zu Freund Stefan mit seinem Segelboot:
Da bin ich davon ausgegangen, dass er mitsamt seiner Takelage verschwunden ist...

Zum Beweis des Satzes von Pythagoras:
Für diesen Satz sind mehrere hundert verschiedene Beweise bekannt. Da der Beweis, den Zeitlos anspricht, ohne bildliche Darstellung nicht ganz einfach zu erklären ist, habe ich den entsprechenden Link bei wiki herausgesucht. Da nach unten scrollen bis „Geometrischer Beweis durch Ergänzung“.
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Pythagoras

[Zeitlos]

Danke, liebe Adele, für die wunderbare Aufbereitung!
Bei Dir wäre ich auch gerne in die Schule gegangen ...

Ich habe dazu noch etwas über die Sichtweiten gefunden:
https://de.wikipedia.org/wiki/Sichtweite

Zu 1: Verlängern des Radius über 2.00 Uhr (Punkt B) hinaus, um mit dem Wellenberg auf gleiche Höhe zu kommen

Der Pfadfinder-Leiter zeigte uns hierzu den Sinus und Co-Sinus im rechtwinkeligen Dreieck, denn wir hatten ja den Winkel Beta (Erdumfang von 40.000 km =360° .... zur Sichtweite von 25 km).

Dann konnte wir die Höhe h zwischen der Wasseroberfläche und dem Auge des Betrachtes ablesen und hatten somit den Wellenberg.

Wir waren begeistert von diesen "Geheimnissen", denn der Sinus usw. wurde in der Volksschule nicht gelehrt ... das war das Verdienst des Pfadfinder-Leiters und das Ganze kurz vor den großen Ferien mit viel Zeit zum Knobeln.

Weiß jemand noch, was "Sinus" auf Deutsch heißt?
Ja, ja, die alten Griechen waren Schelme - als sie die Sinuskurve betrachteten!
Pfadfinder merken sich so etwas lange ...

2) Die Annäherungsformel s^2 / 2*R
stammt wahrscheinlich aus dem Pythagoras R^2 + s^2 = (R+h)^2.

Daraus folgt: s^2 = (R+h)^2 / R^2;
oder s = Wurzel aus 2R * Wurzel aus h;
dann ist die Wurzel aus h = s / Wurzel aus 2R
ins Quadrat genommen, um die Wurzeln weg zu bekommen:

h = s^2 / 2R.

3) Schön, daß Du die beiden Quadrate mit dem Wort "SIEHE" auch entdeckt hast - eine wunderschöne Erklärung für den Pythagoras.

Viel Spaß! Bekommst auch gerne ein "fleißiges Bienchen".
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Keine Sorge vor der biblischen Kaufmanns-Aufgabe!
Es geht nur um einen Trick - etwas mathematisch angehaucht.
Ja, eben weil jeder damalige Markflecken "eigene Gewichte" herstellen konnte - natürlich zu seinen Gunsten, je nachdem, ob sie kaufen oder verkaufen wollten, kam der reisende Kaufmann auf einen Trick.
Die Marktwaage (Balkenwaage wie in der Apotheke - nur größer) war ja unbestechlich - daher konnte nur an den Gewichten ... wie bei der legierten Königskrone des Archimedes ... etwas "gedreht" werden.

Jede Hausfrau von früher kann die Lösung nachvollziehen - wenn sie bis ca. 30 zählen will - doch es gibt einen Trick.

Eine herrliche Aufgabe, um die Enkel an Regentagen zu beschäftigen ...

Zeitlos

[Gast]

Ein Rätsel für ältere Menschen:

Wer ist das? Er war ein bekannter deutscher Quizmaster. Sein Nachnahme fing mit einem K an.

OK, hier eine kleine Hilfe, ..der Nachname hörte mit einem ulenkampff auf.

Na???

[Gast]

Elingo köstlich, deine Frage passt 100 % perfekt zum Thema. Ich lach mich weg

[Gast]

Ein spanischer Gemüsehändler ist 1,74 Meter groß, hat einen Bauchumfang von 105 Zentimetern und trägt Schuhgröße 44. Was wiegt er?

[Adele_N]

Ein Rätsel für ... Menschen: Hängt an der Wand, macht ticktack und wenn’s runterfällt, ist die Uhr kaputt?

@monika50: Der spanische Gemüsehändler wiegt Gemüse (ab).

[Zeitlos]

Gut geantwortet, Adele!

Ich dachte eher an Spaniens "wilde Früchte",
weil man dabei etwas Richtiges in der Hand hat.
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Wer schon mal darüber nachgedacht hat,
was war ein "Seitensprung"?
Ja, ja, der Krieg war der Vater so mancher Dinge.

Zeitlos

[Gast]

OH weh! Jetzt habe ich dem Nachnamen ein h verpasst. Entweder bin ich mittlerweile zu alt für den Scheiß (Bruce Willis in "Stirb langsam"), oder es tut mir nicht gut, hier mitzumachen.

Aber nachdem ich meine Schusseligkeit schon bei der Zossen-Aufgabe bewiesen habe, habe ich ja vielleicht schon einen Persilschein.

[Gast]

Aber jetzt mal eine ernsthaft Scherzfrage, die in meiner Kindheit in einer Serien-Folge gestellt wurde:

Wo war der Mann, als er von der Brücke sprang?

[Zeitlos]

Schwierig, lieber Elingo!

Ich kenne die Serie nicht;
kann es sein, daß "er nicht ganz bei Trost war"?

Aber die Frage lautet ja: wo? und als?

Also ein Ort und ein bestimmter Zeitpunkt?

Meinst Du vielleicht - als er sprang - das Brückengeländer ... ?

Zeitlos