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[Adele_N]

[Google]

[Zeitlos]

[Adele_N]

Wie schrieb kürzlich eine Userin und das als ihre pragmatische Lösung angeboten: „Fahr ihn, der Stern beinhaltet außer ein paar Gleichungen noch viel mehr Wissenswertes und Physik, - ja die ist zweifelsohne vom feinsten obendrauf.“

Und das hat mich veranlasst, folgende Aufgabe zu formulieren:

Dein Tacho im Auto (nein – kein Mercedes, ein Statussymbol brauchen wir nicht) ist während der Fahrt auf der Autobahn ausgefallen, nur der Drehzahlmesser funktioniert noch.
Nun möchtest du aber keinesfalls bei der nächsten Geschwindigkeitsbegrenzung auf 100 km/h (mit Radarkontrolle) ein Knöllchen riskieren. Deshalb lässt du schnell deinen Beifahrer ausrechnen, was der Drehzahlmesser höchstens anzeigen darf, um die 100 km/h nicht zu überschreiten.

In der Bedienungsanleitung stehen (hoffentlich) alle nötigen Angaben (sonst muss sie der Beifahrer eben aus dem Internet holen):
1. Reifengröße: 195/65R15 91T
2. Übersetzung der Gänge (n-Motor / n-Antriebswelle), hier angenommen 5. Gang: Ü = 3,8 / 1

Gesucht ist die Motordrehzahl: nM = ? 1/min

[Zeitlos]

[Adele_N]

Hallo feminin,
also ich drücke für Dich schon mal alle Daumen die ich habe, damit Du noch vor Ablauf des zweiten Jahres Deinen Beifahrer hier findest, denn zu den schwer vermittelbaren wirst Du doch sicher nicht gehören

Und wie das im praktischen Leben so ist, manchmal ist Wissen Macht, anderseits: nichts wissen macht auch nichts. Wenn da der Werkstattmeister nicht schon längst seinen wohlverdienten Feierabend angetreten oder sich ins Wochenende verabschiedet hätte. Natürlich hat dann der/die vorausschauende Autofahrer/in einen Vertrag mit einem Autoclub abgeschlossen, die (hoffentlich) auf der Stelle helfen werden. Wie sonst sollte der nicht explizit in der Aufgabe genannte Termin noch einzuhalten sein.
Gut dran sind natürlich diejenigen (davon soll‘s leider nur wenige geben), die das absolute Gehör besitzen und anhand der Fahrgeräusche die exakte Geschwindigkeit, zumindest auf 10% genau, bestimmen können.
Dass nun der Drehzahlmesser zwangsläufig mit ausfällt, nur weil das Tachometer nichts mehr anzeigt, halte ich für etwas weit hergeholt.

Fazit: Wäre es nicht doch ganz nützlich, wenigstens einen blassen Schimmer zu haben, wie die Geschwindigkeit ermittelt werden kann? Und sei es nur der Sache wegen...

Dabei interessiert eigentlich nicht so sehr die Zahl, die am Ende raus kommt, sondern viel mehr der Rechenweg. Auch nebensächlich ist, ob die Profiltiefe und der Luftdruck einbezogen, mit dem unbelasteten Reifendurchmesser oder gleich mit dem Abrolldurchmesser/Abrollumfang gerechnet wird.

Wenn diese Randbedingungen bei der Lösung mit angegeben werden, ist doch alles in Ordnung.

[Gast]

Jetzt bitte Ruhe hier und laßt den Leuten ihr Hobby.

[Zeitlos]

Wenn jemand in einem Wagen mit Mercedes-Stern 100 km/h fährt lt. Tachoanzeige,

dann weiß er,
daß er eine Strecke von 100 km
in einer Zeit von 1 Stunde durchfährt.

Daher ist die Geschwindigkeit: Strecke geteilt durch die Zeit.

... und wieviel Meter sind dies in 1 Minute?

Damit kann man leichter rechnen.

Zeitlos

[Zeitlos]

noch zur Auflösung des "Mercedes-Sterns":

1) aus der 8. Klasse Volksschule

a)
Der Mercedes-Händler gab uns eine Werbeschrift, in der die Berechnung des Mercedes-Sterns erklärt wurde:

Wenn man den Durchmesser hat, dann ist im Dreieck ...

- die Seite a = 1,5 d : Wurzel aus 3
(stammt aus dem Pythagoras ausgehend von der Höhe = 3/4 d).

b) anschaulicher für uns wird die Lösung mit einer Skizze und dem

- Thaleskreis über den Durchmesser ... ergibt mit dem Pythagoras den Radius und die Seite a des gleichseitigen Dreiecks,

- Thaleskreis über die Seite a ... ergibt mit dessen Pythagoras die Seite a/2 und die Höhe h.

Die Fläche des Sterns = Grundlinie a * Höhe h : 2.

2) in weiterführenden Schulen
rechnet man am einfachsten mit der Winkelfunktion

wie es unsere Adele in ihrem o.a. Diagramm wunderschön aufzeigt hat:

Fläche des Sterns
= r^2 / 2 * sin Gamma 120

oder aufgeteilt in 2 gleiche Dreiecke - je Gamma 60° - und mit Cosinus 30° am Radius
und dann mit der Anzahl der Dreiecke multiplizieren.
(Sie sind der Beweis, daß die Höhe h = 3/2 r ist.)

Der Sinus 120° = Wurzel aus 3 geteilt durch 2.

------------------

Die beiden Thaleskreise auf der Skizze in der Mercedeswerbung ergaben für uns Schüler eine leicht zu merkende blaue Ziffer "9";
deshalb blieb mir der "Mercedes-Stern" im Gedächtnis als erstrebenswertes Vorbild ein Ding mit Pfiff!

Auch Euch viel Spaß dabei ... und Euren Enkeln

Zeitlos

[Adele_N]

Und nun wieder eine kleine Hilfe von mir und, da Bilder mehr sagen als tausend Worte, ein solches gleich dazu:

Zur Lösung der Autoaufgabe wird der Durchmesser, genau genommen der Abrolldurchmesser, des Reifens benötigt. In der Reifentyp-Bezeichnung ist dieser Wert nicht direkt enthalten und muss deshalb erst berechnet werden.
Wer Zugang zum Internet hat, kann sich das sparen und den Wert auf einer der zahlreichen Seiten abrufen. Da muss nur der Reifentyp eingegeben werden, z.B. hier: https://rechneronline.de/reifen-check/reifenmasse.php

Wer es selbst berechnen will, muss folgendes wissen (beispielsweise Reifentyp 195/65R15):
Der erste Zahl (195) gibt die Reifenbreite B in mm an.
Die zweite Zahl (65) das Verhältnis Z von Reifenhöhe hReifen zur Reifenbreite B in %.
Die dritte Zahl (15) den Felgendurchmesser dFelge in Zoll. ( 1 Zoll = 25,4 mm)
(Das R steht für Bauweise „radial“.)

Der Reifendurchmesser im Neuzustand, aufgepumpt und unbelastet, ist somit:
dReifen = dFelge + 2 * hReifen mit hReifen = B * Z

Praktisch ist dieser Wert zu groß, da der Reifen durch den Druck der Achslast auf der Fahrbahn abplattet und es müsste deshalb eigentlich mit dem Abrollradius ra gerechnet werden.
ra wird vom Hersteller bei der Typprüfung experimentell ermittelt und ist bei diesem Reifen ca. 3% kleiner als rReifen. Durch Abnutzung des Profils sinkt dieser Wert ebenfalls, nimmt jedoch mit steigender Geschwindigkeit auch zu.

Für die Lösung dieser Aufgabe soll das jedoch nicht entscheidend sein, denn mit dReifen gerechnet ist die tatsächlich gefahrene Geschwindigkeit niedriger als 100 km/h und ein Knöllchen zu bekommen ausgeschlossen.

Zur Erinnerung: Gefragt ist der Lösungsweg für die gesuchte Drehzahl, entweder verbal oder als Formel geschrieben, denn dafür gibt es die meisten Punkte. Der Zahlenwert selbst bringt dann nur noch einen Zusatzpunkt für Fleißarbeit...

[Zeitlos]

Liebe Autofreunde und -innen,

Wer die Umrechnung
von km / h
in ... m / min
nicht mehr weiß,

dem hilft vielleicht eine Schätzung.

In den Auto-Prospekten wird oft aufgeführt:

Diesel-Autos haben ein maximales Drehmoment bei ca. 2000 Umdrehungen pro Minute.
Benziner bei weit über 3000
(daher stößt der Diesel weniger CO2 aus).

In dessen Nähe müßte die von Adele gewünschte Drehzahl liegen.

Für meine Schätzung gebe ich mal die "runde" Drehzahl von 3.333 Umdrehungen pro Minute bei 100 km/h vor ...
---------------------------------------

Das Drehmoment steht für Kraft x Hebelarm;
Der Hebelarm bei einer Kurbel (oder Welle) ist es der äußere Kreisumfang.

Schulbeispiel war das Hochziehen eines Getreidesackes in einer Mühle mittels einer Handkurbel.
Der Handgriff an dem 1m-Hebel beschreibt beim Drehen einen Kreis, der den Hebelarm darstellt.
Die Kraft, die an der Welle nun entsteht, ist das Drehmoment in m*kg
(technisch Meterkilopond genannt, heute wird es in Newton-Meter ausgedrückt.)

Das Motordrehmoment muß durch alle nachfolgenden Geräte wie Getriebe und Achsen usw. "durchgehen", sonst gibts Bruch.

Beim Auto ist das Drehmoment ein Maß für den Durchzug beim Losfahren (Beschleunigung wie beim Sprinter und lebenswichtig beim Überholen) - aber nicht beim "Berg-hinauf-fahren" ...hier ist mehr eine höhere Leistung (früher Pferdestärken, heute kW) gefragt wie bei einem Bergsteiger).

Viel Spaß bei der Drehzahl
Zeitlos

[Adele_N]

Weiter geht’s mit der Autoaufgabe:

Nachdem wir den Durchmesser des Reifens aus dem Reifentyp berechnen können, stellt sich die Frage, was wir damit anstellen können.
Zunächst müssen wir berechnen, wie schnell sich das Rad bei der vorgegebenen Geschwindigkeit v drehen muss.
Da das Rad die Strecke abrollt, kommt der Reifenumfang ins Spiel. Raddrehzahl n * Umfang muss also gleich der Strecke aus der Geschwindigkeit sein.

D.h. nichts anderes, als das die Drehzahl des Rades nRad = v / URad sein muss.

Dabei ist zu beachten, dass Drehzahlen vorzugsweise in x pro Minute angegeben werden. Die Geschwindigkeit ist deshalb in Weg pro Minute umzurechnen, wobei für den Weg zweckmäßigerweise Meter verwendet wird. Der Radumfang muss dann auch in Meter errechnet werden.

Bsp.: aus x km/h werden durch Multiplikation mit 1000 aus den km die Meter und Division durch 60 aus Stunde die Minute (1000 / 60 = 50 / 3).
100 km/h entsprechen also rd. 1.666,67 m/min.
Und für diejenigen Autofahrer, die gern mal den Blick woanders hin lenken, anstatt auf die Straße vor sich: Das sind dann 27,78 m Blindflug pro Sekunde!

Brauchen wir noch den Radumfang und der ist: URad = dReifen * pi

[Zeitlos]

[Adele_N]

Auflösung Autoaufgabe:

Die letzte noch nötige Formel für die Motordrehzahl lautet:

[1] nM = Ü * nR

Darin enthalten sind folgende vier Formeln, die ich alle schon mal weiter oben angegeben hatte:

[2] nR = v / URad
[3] URad = dReifen * pi
[4] dReifen = dFelge + 2 * hReifen
[5] hReifen = B * Z

Nun ließen sich zwar mit [5] beginnend die Zahlenwerte einzeln bis [2] ausrechnen, wobei dann der letzte Wert in [1] verwendet werden könnte, nur damit geben sich Mathematiker nicht zufrieden. Das hat auch einen triftigen Grund:
Bei jeder einzelnen Rechnung kommt es zu Rundungsfehlern, was das Ergebnis zu ungenau werden lassen kann, (was hier allerdings keine große Rolle spielen dürfte).
Viel wichtiger ist jedoch, dass sich nur damit herausfinden lässt, ob sich etwas herauskürzen lässt, wie beim Verhältnis Dreiecksfläche zur Kreisfläche, das unabhängig vom Radius ist (s. Mercedes-Stern).
Deshalb wird bis zum Schluss nur mit den Kurzzeichen gearbeitet, bis alle vorgegebenen Werte in einer einzigen Formel vorkommen.

Also wird [5] in [4], dann [4a] in [3] usw. eingesetzt. Aus [4] wird z.B.:

[4a] dReifen = dFelge + 2 * B * Z

Die weiteren Schritte spare ich mir hier nieder zu schreiben – die endgültige Formel lautet:

[6] nM = Ü * v / [pi * (dFelge + 2 * B * Z)]

Die vorgegebenen Werte sind (in m und min angegeben): Ü = 3,8/1; v = 100 * 50 / 3 ; dFelge = 15 * 0,0254 ; B = 0,195 ; Z = 0,65
Diese in [6] eingesetzt ergibt die gesuchte Motordrehzahl:

nM = 3,8 * 100 * 50 / [3 * pi * (15 * 0,0254 + 2 * 0,195 * 0,65)] = 3177,25 1/min

Um noch mal auf den Abrollradius und dessen Auswirkung zurück zu kommen:
Da der wirkliche Raddurchmesser infolge der Abplattung des Reifens kleiner ist, als bei der Berechnung zugrunde gelegt wurde, ist die tatsächliche Geschwindigkeit auch kleiner als die angestrebten 100 km/h.
Mit den weiter oben mal genannten 3% kleinerem Abrollumfang ist die Geschwindigkeit bei der errechneten Drehzahl natürlich auch 3% niedriger, also nur 97 km/h.

[Zeitlos]

Danke, Adele!
Das Zusammenfassen und anschließende Kürzen war eine gute Idee!

Vielleicht hat noch jemand gute Ideen?

Zeitlos

[Adele_N]

Zur Abwechslung mal eine weniger schwere Aufgabe:

Ein kleines Segelschiff wurde in der Südsee bei einem Unwetter stark beschädigt und droht in 80 Minuten zu sinken.
An Bord befinden sich 31 Personen - es steht jedoch nur ein Rettungsboot für 6 Personen zur Verfügung.

Bis zum rettenden Ufer braucht das voll beladene Rettungsboot 8 und zurück zum Segelschiff 7 Minuten. Das Einsteigen dauert 1 und das Aussteigen ½ Minute.

Wie viele Schiffbrüchige können gerettet werden?