50plus Forum - Liebe & Partnerschaft, Hobby, Reisen, Witze, Geschichten, Regional, Klatsch und Tratsch

[Ingenieur57]

Hallo, Gemeinde!

[Google]

[Zeitlos]

Liebe Adele, lieber Ingenieur!
Jetzt wird es interessant!

Nun kannst Du Schiedsrichterin spielen:

Ich bekomme eine "gerade Zahl" heraus.

Aber vielleicht habe ich mich irgendwo leicht verrechnet?
---------------------------------------------

Meine Ahnung hat mich getäuscht, Adele!
Trotzdem versuche ich nun auf die „Volksschul-weise“ die Aufgabe kurz zu lösen,
und Formeln nach Möglichkeit zu vermeiden:

gegeben: Würfel mit 1000 ccm
gesucht: Durchmesser der Kugel – auch mit einem Volumen von 1000 ccm
und daraus später das Verhältnis der Oberflächen Würfel zu Kugel.

Lösung mit Rechenschieber-Genauigkeit:

Das Volumen der neuen Kugel ist nun 1000 ccm
und die Kugel entspricht immer ca. 53 % des Würfels.
100 % sind nun 1890 ccm des theoretischen Würfels.

Die Kantenlänge des Würfels = die 3. Wurzel von 1890 – dies kann man am Rechenschieber einfach ablesen.

Es geht aber auch „zu Fuß“:

1) zum theoretischen Würfel
Es müssen mehr als 10 cm Kantenlänge sein, da 10 * 10 * 10 cm nur 1000 ccm sind.
Also probieren wir es mit 2er-Sprüngen: 12 * 12 * 12 = 1728.
Nun fehlen auf die gewünschten 1890 ccm (des theoretischen Würfels) noch 162 ccm;
die 3. Wurzel von 162 ist ca. 4 (geschätzt) und dies ist nun die Stelle nach dem Komma.
Die Kantenlänge ist also: 12, 4 cm.

2) zur Kugel:
Die Kantenlänge des theoretischen Würfels ist gleich der Durchmesser der gewünschten Kugel.

a) Wie erzählte Adele so schön:
Die Eselsbrücke für sie Kugeloberfläche knüpft an das Volumen an:
„Und was es auf dem Leibe hat, ist vier mal pi mal r Quadrat.“

Ich bringe es nun in meine Vorstellungswelt, in dem ich die Kugel vor mir sehe:

d^2 * 3,14 = 12,4 cm * 12,4 cm * 3,14 = 482 qcm
(Überschlag 12 x 12 x 3 = 432 und noch ein bißchen etwas dazu.)

b) es geht aber auch mit den 53 % des Würfels (= die Kugel):

Die Oberfläche des Würfels = Seite ins Quadrat x 6 Seiten
= 12,4 cm * 12,4 cm * 6 = 923 qcm;
davon runde 53 % ergibt ca. 490 qcm und dies entspricht den o.a 482 qcm nach der Formel.

Antwort:
Der Würfel hat 600 qcm Oberfläche;
die Kugel hat 482 qcm Oberfläche; das entspricht ca. 80 % des Würfels.

Hat Spaß bereitet.

Zeitlos

[Ingenieur57]

Gut, dann also hier meine Gedankenkette!
Es ist übrigens manchmal schwierig bei "Nur Text"-Möglichkeiten mathematische Funktionen verständlich zu schreiben - erinnert mich ein bisschen an die letzten 20 Jahre des vorigen Jahrtausends, als die Tastaturen und Betriebssysteme das auch nur mühsam möglich machten.

Vereinbarungen:
Vk = Kugelvolumen
Vw = Würfelvolumen (hat mit VW absolut nichts zu tun...)
Fk = Kugeloberfläche
Fw = Würfeloberfläche
r = Radius der Kugel
a = Kantenlänge des Würfels
Schreibweise:
"Dritte Wurzel aus ?" ==> "cuberoot(?)"

Bedingung: Vk = Vw
Gesucht: x = Fk / Fw

Vk = 4 / 3 * Pi * r³
Vw = a³
Fk = 4 * Pi * r²

(@Zeitlos: Wenn man die Funktion/Formel für Vk differenziert, dann kommt genau die Formel für die Oberfläche heraus, d. h. man darf sich eine Kugel aus vielen unendlich dünnen Oberflächen übereinandergesetzt vorstellen.)

Fw = 6 * a²

Vk = Vw = 4 / 3 * Pi * r³ = a³
a³ = 4 / 3 * Pi * r³
cuberoot(a³) = cuberoot(4 / 3 * Pi * r³)
a = cuberoot(4 / 3 * Pi) * r

x = Fk / Fw
= 4 * Pi * r ² / (6 * a²)
= 4 * Pi * r ² / (6 * (cuberoot(4 / 3 * Pi) * r)²)
Hier lässt sich nichts mehr an der Formel vereinfachen, bleibt nur noch schnöde Zahlenrechnerei und am Ende steht:
x = 0,806

@Zeitlos - Es gilt der Satz:
"Bei gleichem Rauminhalt hat die Kugel von allen Formen die kleinste Oberfläche."
Sie ist die ideale Form, was allerdings auf das halbkugelähnliche Gebilde (zwischen meinen Hüftknochen, dem Bauchnabel und dem bibergefährdeten Teil) nicht mehr zutrifft!

[Zeitlos]

Du hast Dir ja viel Mühe gegeben, lieber Ingenieur!

1)
Ich möchte jedoch unserer Prinzessin Adele I. nicht vorgreifen,
die uns diese Aufgabe gestellt hat.

Hast Du eigentlich meine Rechnungen (mit dem Rechenschieber) auf dem Computer nachgerechnet ... und bist auf die Differenz kommen?

2)
Du schreibst:
"(@Zeitlos: Wenn man die Funktion/Formel für Vk differenziert, dann kommt genau die Formel für die Oberfläche heraus, d. h. man darf sich eine Kugel aus vielen unendlich dünnen Oberflächen übereinandergesetzt vorstellen.)"

Das habe ich leider nicht verstanden, worauf Du hinaus willst.

Die Formel für die Oberfläche einer Kugel
haben wir aus dem Volumen der Kugel hergeleitet,
das aus - unser Mathelehrer - "aus 100000 kleinen Pyramiden" besteht, deren Grundfläche jeweils ein Teil der Kugel-Oberfläche darstellt.

Mit freundlichen Grüßen
Zeitlos

[Gast]

[Ingenieur57]

[Zeitlos]

Danke, lieber Ingenieur!

Einen Denkfehler habe ich eigentlich nicht vermutet - ich war eher im Kopfrechnen schwach ...

Meine Gelenke ...? Ich fahre noch immer gerne Fahrrad.

Nein, meine Schwäche liegt eher im Hals ... manchmal empfinde ich einen Reiz ... böse Zungen behaupten, daß ich zu viel und zu laut "kommandiert" hätte ...
ferner in der Nase ... die ich hätte nicht überall hineinstecken sollen!

Zeitlos

[Ingenieur57]

@ Zeitlos:
Ich hatte mit dem halbkugelförmigen Gebilde nicht die Gelenke gemeint.
Schau mal ein paar Posts zurück und lach drüber.

Es macht mir z. Zt. Schwierigkeiten, die Ergebnisse von Dir im Detail zu analysieren. Vielleicht bin aber auch ich auf dem Holzweg - warten wir Adeles Richterspruch ab.

Inzwischen ist mir eine echt verlockende, weitere Interpretation von "halbkugelförmigen Gebilden" in den Sinn gekommen. Die sind aber fast immer paarweise angeordnet ...

[Adele_N]

Hallo Ingenieur57,
Deine Lösungsweg und die Darstellung der Rechenschritte lassen keine Wünsche offen. Natürlich stimmt auch das Ergebnis.

Nur an einer Stelle muss ich korrigieren und zwar da, wo Du schreibst:

x = 4 * Pi * r ² / (6 * (cuberoot(4 / 3 * Pi) * r)²)
Hier lässt sich nichts mehr an der Formel vereinfachen, bleibt nur noch schnöde Zahlenrechnerei und am Ende steht:

denn r² kürzt sich heraus und die Formel lautet dann: x = 4 * Pi / (6 * (cuberoot(4 / 3 * Pi)²), worauf ich mit meiner Zusatzfrage hinaus wollte.
Auch das Verhältnis der Oberflächen von Kugel zum Würfen ist bei gleichem Volumen unabhängig vom Durchmesser bzw. der Kantenlänge - also eine Konstante.

Wer nun fragt: „Was nützt mir das, davon zu wissen?“, dann stelle er/sie sich vor, einen Behälter bauen und dabei maximal an Material/Gewicht sparen zu müsse. Das lässt sich eben nur dadurch erreichen, indem die Kugelform gewählt wird.

Hallo Zeitlos,
Dein Ergebnis ist im Endeffekt auch richtig (Rechenschiebergenauigkeit), nur hast Du Dir dabei (sinnbildlich) von hinten durchs Knie geschossen, denn es geht doch viel einfacher.

Gegeben sei:
a = 10 cm ; Vw = 1000 cm³ ; Fw = 600 cm²

Wegen Vk = Vw ergibt sich der Durchmesser der Kugel zu: d = 3.Wurzel(Vw * 6 / pi) = 3.Wurzel(1000 * 6 / pi) ≈ 12,407 cm

Dieses d in die Formel für die Oberfläche eingesetzt ergibt: Fk = pi * d² = pi *12,407² ≈ 483,597 cm²

Und nun noch das Verhältnis bilden: Fk / Fw = 483,597 / 600 ≈ 0,806

[Ingenieur57]

Danke, Adele, Du hast recht und ich war faul.
In meiner "Vorbereitung" steht es auch schon so:

[Adele_N]

Hallo Ingenieur57,
Stimmt schon, ein kugelförmiger Behälter ist wesentlich schwerer herzustellen. Die Häuselbauer hatte ich da auch nicht im Sinn, eher den industriellen Bereich.

In Deiner „Vorbereitung“ versteckt sich in der ersten Zeile ein Fehler. Statt:
Fk / Fw = 4 * Pi * r ² / a² / 6 muss da stehen:
Fk / Fw = 4 * Pi * r ² / a² * 6
In den Zeilen danach stimmt dann alles wieder. Ich hätte aber die „6“ im Nenner stehen gelassen, so wie Du es in der Lösung auch gemacht hast. Die Umwandlung in 4/6 irritiert evtl. den weniger versierten Leser.

Hallo Zeitlos,
habe doch glatt vergessen, mich für Dein Kompliment zu bedanken - Du Charmeur Du.
Den Titel Prinzessin hat mir übrigens schon mal ein Mann verliehen.

[Ingenieur57]

[Zeitlos]

Lieber Ingenieur,

da hat Adele doch glatt einen einfacheren Rechnungsweg gefunden und außerdem die Konstante entdeckt!
Herzlichen Glückwunsch!

Ja, ja, die Computersprache ... ist schon mal aufgefallen und etwas schwierig zu merken.

Die Kugelforum ist schon wichtig für den Häuslebauer, der ewig in seinem Häuschen zu wenig Platz hat.
Daher haben die kugelförmigen Haase-Heizöltanks ("Ich bin 2 Tanks") mit Traglast von bis zu 100 to großen Anklang gefunden: man kann sie in der Einfahrt versenken.

Das gleiche versucht man mit den Eisspeichern .... doch hier kann man die 10 cbm in Zylinder-Form besser transportieren; außerdem sind sie billiger.
Ferner bietet sich das Erdreich unter der Garage an, wenn das Wasserwirtschaftsamt ein Auge zudrückt ...

Kennt noch jemand den Energiegewinn aus der Erstarrungswärme (Wasser von 0°C zu Eis) aus dem Physik-Unterricht der 6. Klasse?

Was hast Du für eine Wärmequelle für Deinen geplanten kleinen Pufferspeicher? Ein Pufferspeicher ist immer eine gute Idee in unseren Breiten!
Deine geschickten Hände werden Dir viel Lob einbringen ... und unsere Damen werden die Ohren spitzen ... ("Ein Häuschen mit Garten - zwar klein aber mein!" - ein Schlager von 1953!)

Viel Erfolg!

Zeitlos

[Zeitlos]

Die Hummel ...

Eine Religionsgemeinschaft wirbt mit der großen Macht und Weisheit ihrer Gottheit:

Die Hummel hat nur kleine Flügel und ist außerdem noch verhältnismäßig schwer gegenüber einer Biene.
Nach den Gesetzen der Starrflügler (die Wölbung der starren Flügel der heutigen Urlaubsflügler "hält das Flugzeug in der Luft") kann die Hummel gar nicht fliegen, denn sie hat u.a. keine starren gewölbten Flügel. Sie würden sich beim Nektar-sammeln störend auswirken.

Die Hummel weiß dies natürlich nicht ... und fliegt einfach weiter.

(aus dem Physik-Unterricht der 6. Klasse Volksschule bei der Wetterkunde: Entstehung von Wirbelstürmen "der Tornado hat einen Rüssel")

Offenbar hatte der Prediger in der 6. Klasse bei der Wetterkunde ein kleines Nickerchen eingelegt ... und auch die Hubschrauber- und Drohnen-Entwicklung seit 1948 ist spurlos an ihm vorüber gerauscht, denn sie kommt in der Bibel nicht vor und wird wohl als Teufelswerk eingestuft?

Zeitlos

[Adele_N]

Hallo Ingenieur57,
zu Deinem letzten Beitrag muss ich nun eingestehen, dass Du Recht hast und ziehe deshalb den „versteckten Fehler“ zurück. Dummerweise hatte ich auch noch die Klammern um (a² * 6) vergessen zu schreiben.
Als Mathelehrerin interpretiere ich die Schreibweise eben immer so, wie es in der Schule üblich ist. Wir müssen uns deshalb unbedingt auf eine einheitliche Schreibweise einigen, da hier die richtige Darstellung von Formeln, wie eigentlich üblich, nicht oder nur schwer möglich ist, damit solche Missverständnisse ausgeschlossen sind.
Wenn da stehen soll:
a
---- = x ; geht das meistens so nicht und muss in einer Zeile geschrieben werden, also: x = a / (b*c)
b*c

oder bei:
a
---- = x ; dann: x = a / (b/c)
b/c
Es sollte also immer nur einen Bruchstrich geben und das, was danach (im Nenner) folgt, in Klammern stehen. Statt * oder / kann da auch jeder andere Operator stehen und, es versteht auch der Computer (Excel).

Eine Besonderheit tritt z.B. bei der Formel fürs Kugelvolumen auf. Schulisch korrekt müsste es so geschrieben werden:
4
-- * pi * r³ = Vk ; in einer Zeile geschrieben dann so: Vk = (4 / 3) * pi * r³
3
Seid Ihr damit einverstanden?

Hallo Zeitlos,
ist „Die Hummel...“ eine neue Frage oder nur eine Feststellung?